Nierówność 8/x > 2 - dla jakich argumentów?

Krok 1. Zapisujemy nierówność i dziedzinę.

$\frac{8}{x} > 2, \qquad x \neq 0.$

Krok 2. Uwaga na mnożenie przez $x$. Nie wolno pomnożyć obu stron przez $x$ „normalnie”, bo nie znamy znaku $x$ - a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności. Rozważamy więc dwa przypadki.

Krok 3. Przypadek $x > 0$. Mnożymy przez dodatnie $x$ (znak bez zmian):

$8 > 2x \quad\Longrightarrow\quad x < 4.$

Łącznie z założeniem: $0 < x < 4$.

Krok 4. Przypadek $x < 0$. Wtedy $\tfrac{8}{x}$ jest ujemne, a liczba ujemna nigdy nie jest większa od $2$ - ten przypadek nie daje rozwiązań.

Krok 5. Łączymy wyniki.

$x \in (0, 4).$

Krok 6. Sprawdzenie. Dla $x = 1$: $\tfrac{8}{1} = 8 > 2$ - pasuje. Dla $x = 5$: $\tfrac{8}{5} = 1{,}6 < 2$ - nie pasuje. Dla $x = -1$: $-8 < 2$ - nie pasuje.

Odpowiedź. $x \in (0, 4)$.