Wymierny czy niewymierny: (2 + √3)²

Krok 1. Kwadrat sumy. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}.$

Krok 2. Wniosek. Gdyby $7 + 4\sqrt{3}$ było liczbą wymierną $w$, to $\sqrt{3} = \frac{w - 7}{4}$ też byłoby wymierne - a $\sqrt{3}$ jest niewymierne. Sprzeczność.

Porównaj z zadaniem o $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)$: tam pierwiastki się zniosły, tutaj „wyraz środkowy” $2ab = 4\sqrt{3}$ zostaje.

Odpowiedź. Nie, $(2 + \sqrt{3})^2 = 7 + 4\sqrt{3}$ jest liczbą niewymierną.