Suma W + V i różnica 2W − 3V wielomianów stopnia 3 - stopień wyniku

Krok 1. Suma. Przed drugim nawiasem stoi plus, więc znaki się nie zmieniają:

$W(x) + V(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 - 3x^3 + 4x^2 - x + 6.$

Krok 2. Redukujemy wyrazy podobne: $3x^3 - 3x^3 = 0$, $-2x^2 + 4x^2 = 2x^2$, $5x - x = 4x$, $-1 + 6 = 5$. Zatem

$W(x) + V(x) = 2x^2 + 4x + 5.$

Oba wielomiany mają stopień $3$, ale ich suma - tylko $2$, bo współczynniki wiodące $3$ i $-3$ są liczbami przeciwnymi i wyrazy z $x^3$ się zniosły.

Krok 3. Mnożymy przez liczby. Każdy wyraz wielomianu mnożymy przez tę samą liczbę:

$2W(x) = 6x^3 - 4x^2 + 10x - 2, \qquad 3V(x) = -9x^3 + 12x^2 - 3x + 18.$

Krok 4. Odejmujemy. Minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu $3V(x)$:

$2W(x) - 3V(x) = 6x^3 - 4x^2 + 10x - 2 + 9x^3 - 12x^2 + 3x - 18.$

Krok 5. Redukujemy: $6x^3 + 9x^3 = 15x^3$, $-4x^2 - 12x^2 = -16x^2$, $10x + 3x = 13x$, $-2 - 18 = -20$:

$2W(x) - 3V(x) = 15x^3 - 16x^2 + 13x - 20.$

Krok 6. Sprawdzenie przez $x = 1$. $W(1) = 5$ i $V(1) = 6$, więc $2W(1) - 3V(1) = 10 - 18 = -8$. Suma współczynników wyniku: $15 - 16 + 13 - 20 = -8$. Zgadza się.

Odpowiedź. $W(x) + V(x) = 2x^2 + 4x + 5$ (stopień $2$), $2W(x) - 3V(x) = 15x^3 - 16x^2 + 13x - 20$ (stopień $3$).