Działania łączone na wielomianach: W(x)·V(x) − [V(x)]³

Krok 1. Iloczyn $W(x) \cdot V(x)$. Każdy wyraz trójmianu mnożymy przez $x$ i przez $2$:

$(x^2 - 3x + 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - 3x^2 - 6x + x + 2 = x^3 - x^2 - 5x + 2.$

Krok 2. Sześcian $V(x)$. Ze wzoru $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 4 + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.$

Krok 3. Odejmujemy. Minus zmienia znak każdego wyrazu sześcianu:

$x^3 - x^2 - 5x + 2 - x^3 - 6x^2 - 12x - 8.$

Krok 4. Redukujemy: $x^3 - x^3 = 0$, $-x^2 - 6x^2 = -7x^2$, $-5x - 12x = -17x$, $2 - 8 = -6$:

$W(x) \cdot V(x) - [V(x)]^3 = -7x^2 - 17x - 6.$

Oba składniki miały stopień $3$ i współczynnik wiodący $1$, więc wyrazy z $x^3$ się zniosły - wynik ma stopień $2$.

Krok 5. Sprawdzenie przez $x = 1$. $W(1) = -1$, $V(1) = 3$, więc $W(1) \cdot V(1) - V(1)^3 = -3 - 27 = -30$. Suma współczynników wyniku: $-7 - 17 - 6 = -30$.

Uwaga: $[V(x)]^3 = (x + 2)^3$ to nie $x^3 + 8$. Pominięcie wyrazów $6x^2$ i $12x$ to najczęstszy błąd w tym zadaniu.

Odpowiedź. $W(x) \cdot V(x) - [V(x)]^3 = -7x^2 - 17x - 6$ - wielomian stopnia $2$.