Współczynnik przy x³ w iloczynie (x² + mx − 2)(2x² − 3x + m) - wyznacz m

Krok 1. Skąd bierze się $x^3$. Szukamy par (wyraz z pierwszego nawiasu, wyraz z drugiego), których wykładniki sumują się do $3$: $x^2 \cdot (-3x) = -3x^3$ oraz $mx \cdot 2x^2 = 2mx^3$. Wyraz $-2$ dałby co najwyżej $x^2$, więc nie pasuje.

Krok 2. Warunek na $m$. Współczynnik przy $x^3$ to $2m - 3$:

$2m - 3 = 5 \quad\Longrightarrow\quad m = 4.$

Krok 3. Współczynnik przy $x^2$. Pary dające $x^2$: $x^2 \cdot m$, $mx \cdot (-3x)$ oraz $(-2) \cdot 2x^2$. Razem $m - 3m - 4 = -2m - 4$, czyli dla $m = 4$:

$-2 \cdot 4 - 4 = -12.$

Krok 4. Wyraz wolny to iloczyn wyrazów wolnych: $(-2) \cdot m = -8$.

Krok 5. Pełny iloczyn dla $m = 4$. Mnożymy $(x^2 + 4x - 2)(2x^2 - 3x + 4)$, każdy wyraz przez każdy:

$2x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 8x^3 - 12x^2 + 16x - 4x^2 + 6x - 8.$

Po redukcji: $x^3$: $-3 + 8 = 5$; $x^2$: $4 - 12 - 4 = -12$; $x$: $16 + 6 = 22$. Zatem

$W(x) = 2x^4 + 5x^3 - 12x^2 + 22x - 8.$

Współczynnik przy $x^3$ to rzeczywiście $5$, a przy $x^2$ i wyraz wolny zgadzają się z krokami 3 i 4.

Krok 6. Sprawdzenie przez $x = 1$. $(1 + 4 - 2)(2 - 3 + 4) = 3 \cdot 3 = 9$ oraz $2 + 5 - 12 + 22 - 8 = 9$.

Uwaga: parametr $m$ występuje w obu nawiasach. Łatwo pominąć iloczyn $x^2 \cdot m$ przy liczeniu współczynnika przy $x^2$ - wtedy wychodzi $-3m - 4$ zamiast $-2m - 4$.

Odpowiedź. a) $m = 4$. b) Współczynnik przy $x^2$ wynosi $-12$, wyraz wolny $-8$, a $W(x) = 2x^4 + 5x^3 - 12x^2 + 22x - 8$.