Uporządkuj wielomian i podaj jego stopień: 4x − 3x³ + 2x⁵ − 7 + x³ − 2x⁵ + 6x²

Krok 1. Grupujemy wyrazy podobne - te, w których stoi ta sama potęga $x$:

$W(x) = (2x^5 - 2x^5) + (-3x^3 + x^3) + 6x^2 + 4x - 7.$

Krok 2. Redukujemy. Wyrazy z $x^5$ się znoszą: $2x^5 - 2x^5 = 0$. Przy $x^3$ zostaje $-3x^3 + x^3 = -2x^3$. Pozostałe wyrazy nie mają „pary”:

$W(x) = -2x^3 + 6x^2 + 4x - 7.$

Krok 3. Odczytujemy stopień i współczynniki. Najwyższa potęga z niezerowym współczynnikiem to $x^3$, więc $\deg W = 3$. Współczynnik wiodący to liczba przy $x^3$, czyli $-2$. Wyraz wolny to $-7$, a przy $x^2$ stoi $6$.

Krok 4. Szybkie sprawdzenie przez $x = 1$. Postać wyjściowa: $4 - 3 + 2 - 7 + 1 - 2 + 6 = 1$. Postać uporządkowana: $-2 + 6 + 4 - 7 = 1$. Sumy współczynników się zgadzają.

Uwaga: stopnia nie odczytujemy z postaci nieuporządkowanej. W zapisie wyjściowym widać $x^5$, ale po redukcji ten wyraz znika - wielomian ma stopień $3$, a nie $5$.

Odpowiedź. $W(x) = -2x^3 + 6x^2 + 4x - 7$; stopień $3$, współczynnik wiodący $-2$, wyraz wolny $-7$, współczynnik przy $x^2$ równy $6$.