Mnożenie wielomianów: (2x² − x + 3)(x² + 4x − 2)

Krok 1. Liczymy iloczyny. Każdy z trzech wyrazów pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy z trzech wyrazów drugiego - razem $3 \cdot 3 = 9$ iloczynów. Wygodnie ułożyć je w tabeli (wiersze: pierwszy nawias, kolumny: drugi):

Wykładniki dodajemy: $2x^2 \cdot x^2 = 2x^4$, $(-x) \cdot 4x = -4x^2$, $3 \cdot 4x = 12x$.

Krok 2. Zbieramy wyrazy według potęg.

• $x^4$: tylko $2x^4$;
• $x^3$: $8x^3 - x^3 = 7x^3$;
• $x^2$: $-4x^2 - 4x^2 + 3x^2 = -5x^2$;
• $x$: $2x + 12x = 14x$;
• wyraz wolny: $-6$.

Krok 3. Zapisujemy wynik.

$(2x^2 - x + 3)(x^2 + 4x - 2) = 2x^4 + 7x^3 - 5x^2 + 14x - 6.$

Stopień wyniku to $2 + 2 = 4$, współczynnik wiodący $2 \cdot 1 = 2$, wyraz wolny $3 \cdot (-2) = -6$ - wszystko zgodne z regułami dla iloczynu.

Krok 4. Sprawdzenie. Dla $x = 1$: lewa strona $(2 - 1 + 3)(1 + 4 - 2) = 4 \cdot 3 = 12$, prawa $2 + 7 - 5 + 14 - 6 = 12$. Dla $x = -1$: lewa $(2 + 1 + 3)(1 - 4 - 2) = 6 \cdot (-5) = -30$, prawa $2 - 7 - 5 - 14 - 6 = -30$. Obie kontrole się zgadzają.

Odpowiedź. $(2x^2 - x + 3)(x^2 + 4x - 2) = 2x^4 + 7x^3 - 5x^2 + 14x - 6$.