Stopień, współczynnik wiodący i suma współczynników (2x³ − x + 3)²·(1 − 2x)³ bez wymnażania

Krok 1. Stopień. Stopień iloczynu to suma stopni czynników. Kwadrat wielomianu stopnia $3$ to iloczyn dwóch takich wielomianów, a sześcian dwumianu stopnia $1$ - iloczyn trzech dwumianów:

$\deg W = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 9.$

Krok 2. Współczynnik wiodący. To iloczyn współczynników wiodących wszystkich czynników. W $2x^3 - x + 3$ jest to $2$, a w $1 - 2x$ - liczba stojąca przy $x$, czyli $-2$:

$2^2 \cdot (-2)^3 = 4 \cdot (-8) = -32.$

Uwaga: w zapisie $1 - 2x$ wyraz z $x$ stoi na końcu. Współczynnik wiodący to $-2$, a nie $1$ - pomyłka zmieniłaby i znak, i wartość wyniku.

Krok 3. Wyraz wolny. Iloczyn wyrazów wolnych czynników, czyli $W(0)$:

$W(0) = 3^2 \cdot 1^3 = 9.$

Krok 4. Suma współczynników. To wartość $W(1)$, bo każda potęga jedynki jest jedynką:

$W(1) = (2 - 1 + 3)^2 \cdot (1 - 2)^3 = 4^2 \cdot (-1)^3 = 16 \cdot (-1) = -16.$

Odpowiedź. a) $\deg W = 9$; b) współczynnik wiodący $-32$; c) wyraz wolny $9$; d) suma współczynników $-16$.