Obrót trapezu prostokątnego wokół dłuższej podstawy - walec i stożek

Krok 1. Rozkładamy trapez. Rzutujemy $C$ na $AB$ - otrzymujemy punkt $E$ z $AE = 4$, $EB = 3$. Trapez to prostokąt $AECD$ o wymiarach $4 \times 4$ i trójkąt prostokątny $ECB$ o przyprostokątnych $4$ i $3$.

Krok 2. Jaka bryła powstaje. Prostokąt daje walec ($r = 4$, $H = 4$), a trójkąt - stożek ($r = 4$, $H = 3$) przyklejony podstawą do walca. Tworząca stożka:

$l = CB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.$

Krok 3. Objętość to suma objętości walca i stożka:

$V = \pi \cdot 16 \cdot 4 + \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 3 = 64\pi + 16\pi = 80\pi.$

Krok 4. Pole powierzchni. Wspólna podstawa walca i stożka jest wewnątrz bryły, więc jej nie liczymy. Zostają: koło z obrotu $AD$, powierzchnia boczna walca i powierzchnia boczna stożka:

$P = \pi \cdot 16 + 2\pi \cdot 4 \cdot 4 + \pi \cdot 4 \cdot 5 = 16\pi + 32\pi + 20\pi = 68\pi.$

Odpowiedź. $V = 80\pi$, $P = 68\pi$.