Obrót trójkąta prostokątnego wokół przeciwprostokątnej - dwa stożki

Krok 1. Jaka bryła powstaje. Wysokość $CD$ opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Każdy obraca się wokół swojej przyprostokątnej leżącej na osi, więc powstają dwa stożki o wspólnej podstawie - kole o promieniu $r = CD$.

Krok 2. Przeciwprostokątna i promień. $AB = \sqrt{36 + 64} = 10$. Pole trójkąta liczone na dwa sposoby daje wysokość:

$\frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{10 \cdot r}{2} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{48}{10} = 4{,}8.$

Krok 3. Objętość. Wysokości stożków $H_1 = AD$ i $H_2 = DB$ sumują się do $AB = 10$, więc nie trzeba ich liczyć osobno:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 H_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (H_1 + H_2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 23{,}04 \cdot 10 = 76{,}8\pi.$

Krok 4. Pole powierzchni. Bryła nie ma podstaw - tylko dwie powierzchnie boczne o tworzących $6$ i $8$ i wspólnym promieniu $r$:

$P = \pi r \cdot 6 + \pi r \cdot 8 = \pi \cdot 4{,}8 \cdot 14 = 67{,}2\pi.$

Odpowiedź. $V = 76{,}8\pi \approx 241{,}3$, $P = 67{,}2\pi \approx 211{,}1$.