Odległość między prostymi równoległymi

Krok 1. Równoległość. Dzielimy równanie prostej $k$ przez $2$: $2x - y + 3 = 0$. Współczynniki przy $x$ i $y$ są takie same jak w prostej $l$, a wyrazy wolne różne ($3 \neq -7$), więc proste są równoległe i różne.

Krok 2. Wybieramy punkt na prostej $k$. Dla $x = 0$: $-2y + 6 = 0$, więc $y = 3$. Punkt $P = (0, 3)$ leży na $k$.

Krok 3. Odległość punktu $P$ od prostej $l$. Odległość prostych równoległych to odległość dowolnego punktu jednej z nich od drugiej:

$d = \frac{|2 \cdot 0 - 3 - 7|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}.$

Krok 4. Pułapka i kontrola. Wzór skrócony $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ działa tylko wtedy, gdy obie proste mają te same $A$ i $B$. Wzięcie $C_1 = 6$ z nieskróconego równania prostej $k$ dałoby błędne $\frac{13}{\sqrt{5}}$. Po skróceniu: $\frac{|3 - (-7)|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}}$ - zgodnie z krokiem 3.

Odpowiedź. Proste są równoległe, a odległość między nimi wynosi $2\sqrt{5} \approx 4{,}47$.