Równanie ogólne prostej przechodzącej przez dwa punkty

Krok 1. Wektor kierunkowy. Prosta biegnie wzdłuż wektora

$\overrightarrow{AB} = [3 - (-1), -2 - 4] = [4, -6].$

Krok 2. Wektor prostopadły (normalny). W równaniu $Ax + By + C = 0$ wektor $[A, B]$ jest prostopadły do prostej. Wektor prostopadły do $[4, -6]$ dostajemy, zamieniając współrzędne miejscami i zmieniając jeden znak: $[6, 4]$, a po skróceniu przez $2$ - $[3, 2]$. Zatem

$3x + 2y + C = 0.$

Krok 3. Wyznaczamy $C$. Prosta przechodzi przez $A = (-1, 4)$:

$3 \cdot (-1) + 2 \cdot 4 + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5 + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C = -5.$

Krok 4. Sprawdzenie drugim punktem. Dla $B = (3, -2)$: $3 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) - 5 = 9 - 4 - 5 = 0$.

Ten sam wynik daje wzór $(y - y_A)(x_B - x_A) = (y_B - y_A)(x - x_A)$: $4(y - 4) = -6(x + 1)$, czyli $6x + 4y - 10 = 0$ - po podzieleniu przez $2$ to samo równanie.

Odpowiedź. $3x + 2y - 5 = 0$.