Punkt przecięcia dwóch prostych w postaci ogólnej

Krok 1. Zapisujemy układ równań. Punkt wspólny spełnia oba równania naraz:

$x + 2y = 4, \qquad 3x - y = 5.$

Krok 2. Wyznaczamy $y$ z drugiego równania.

$y = 3x - 5.$

Krok 3. Podstawiamy do pierwszego.

$x + 2(3x - 5) = 4 \quad\Longrightarrow\quad 7x - 10 = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.$

Krok 4. Obliczamy $y$ i sprawdzamy. $y = 3 \cdot 2 - 5 = 1$. Kontrola w obu równaniach: $2 + 2 - 4 = 0$ oraz $6 - 1 - 5 = 0$.

Proste się przecinają, bo nie są równoległe: $1 \cdot (-1) - 3 \cdot 2 = -7 \neq 0$.

Odpowiedź. Proste przecinają się w punkcie $(2, 1)$.