Prosta równoległa i prostopadła w postaci ogólnej przez dany punkt

Krok 1. Zasada dla postaci ogólnej. Proste $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ i $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ są

• równoległe, gdy $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ - najprościej wziąć te same $A$ i $B$;
• prostopadłe, gdy $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ - najprościej zamienić $A$ i $B$ miejscami i zmienić jeden znak.

Krok 2. Prosta równoległa. Ma postać $4x - 3y + C = 0$. Podstawiamy $P = (2, -1)$:

$4 \cdot 2 - 3 \cdot (-1) + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad 11 + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C = -11.$

Krok 3. Prosta prostopadła. Ma postać $3x + 4y + C = 0$ (bo $4 \cdot 3 + (-3) \cdot 4 = 0$). Podstawiamy $P$:

$3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2 + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C = -2.$

Krok 4. Kontrola w postaci kierunkowej. Prosta $k$ to $y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$. Prosta prostopadła: $y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$, a $\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -1$ - zgadza się.

Odpowiedź. Równoległa: $4x - 3y - 11 = 0$. Prostopadła: $3x + 4y - 2 = 0$.