Granica 0/0 z ułamkiem piętrowym - wspólny mianownik i skracanie

Krok 1. Próba podstawienia. Dla $x = -1$ w liczniku mamy $\frac{2}{2} - 1 = 0$, a w mianowniku $-1 + 1 = 0$. Symbol $\frac{0}{0}$ - trzeba przekształcić wyrażenie. Nie widać jeszcze czynnika $(x + 1)$ w liczniku, bo ukrywa go ułamek.

Krok 2. Wspólny mianownik w liczniku. Dla $x \neq -3$:

$$\frac{2}{x + 3} - 1 = \frac{2 - (x + 3)}{x + 3} = \frac{-x - 1}{x + 3} = \frac{-(x + 1)}{x + 3}$$

Teraz czynnik $(x + 1)$ jest widoczny.

Krok 3. Dzielimy przez $x + 1$ i skracamy. Dzielenie przez $(x + 1)$ to mnożenie przez $\frac{1}{x + 1}$, a przy liczeniu granicy $x \neq -1$:

$$\frac{\frac{2}{x + 3} - 1}{x + 1} = \frac{-(x + 1)}{(x + 3)(x + 1)} = -\frac{1}{x + 3}$$

Krok 4. Podstawiamy. Funkcja $-\frac{1}{x + 3}$ jest określona w punkcie $-1$ (mianownik $2 \neq 0$), więc granica jest równa jej wartości:

$$\lim_{x \to -1} \left(-\frac{1}{x + 3}\right) = -\frac{1}{2}$$

Krok 5. Kontrola. Dla $x = -0{,}99$ wyrażenie wynosi $-\frac{1}{2{,}01} \approx -0{,}4975$, dla $x = -1{,}01$ wynosi $-\frac{1}{1{,}99} \approx -0{,}5025$ - wartości otaczają $-0{,}5$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{\frac{2}{x + 3} - 1}{x + 1} = -\dfrac{1}{2}$.

Uwaga. Zgubienie minusa w kroku 2 (napisanie $x + 1$ zamiast $-(x + 1)$) daje błędny wynik $\frac{1}{2}$. Kontrola liczbowa w kroku 5 od razu by to wykryła.