Promień okręgu opisanego na trapezie równoramiennym o podstawach 16 i 12

Krok 1. Okrąg istnieje i jego środek leży na osi symetrii. Na każdym trapezie równoramiennym można opisać okrąg (kąty przeciwległe sumują się do $180^\circ$). Środek $O$ jest jednakowo oddalony od $A$ i $B$, więc leży na symetralnej podstawy $AB$ - a ta jest osią symetrii trapezu i symetralną także podstawy $CD$.

Krok 2. Oznaczenia. Niech $x$ będzie odległością punktu $O$ od podstawy $AB$. Oś symetrii dzieli podstawy na połowy: $8$ i $6$. Odległość $O$ od podstawy $CD$ wynosi $14 - x$.

Krok 3. Równanie $|OB| = |OC|$. Z twierdzenia Pitagorasa w dwóch trójkątach prostokątnych przy osi:

$8^2 + x^2 = 6^2 + (14 - x)^2.$

$64 + x^2 = 36 + 196 - 28x + x^2 \quad\Longrightarrow\quad 28x = 168 \quad\Longrightarrow\quad x = 6.$

Krok 4. Promień.

$R = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10.$

Sprawdzenie z drugiej strony: $\sqrt{6^2 + (14 - 6)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ - zgadza się.

Krok 5. Położenie środka. $x = 6$ leży między $0$ a $14$, więc środek okręgu jest wewnątrz trapezu: $6$ od dłuższej podstawy i $8$ od krótszej. Gdyby wyszło $x < 0$, środek leżałby pod dłuższą podstawą, poza trapezem - to też poprawny wynik, nie błąd rachunku.

Odpowiedź. $R = 10$; środek okręgu leży wewnątrz trapezu, w odległości $6$ od podstawy długości $16$ i $8$ od podstawy długości $12$.