Czy na czworokącie można opisać okrąg? Cztery czworokąty do sprawdzenia

Krok 1. Warunek. Na czworokącie wypukłym można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy jego kątów przeciwległych są równe $180^\circ$:

$|\angle A| + |\angle C| = 180^\circ \quad\text{oraz}\quad |\angle B| + |\angle D| = 180^\circ.$

Wystarczy sprawdzić jedną parę - druga dopełni się sama, bo wszystkie cztery kąty dają razem $360^\circ$.

Krok 2. Punkt a). Kąty przeciwległe to $A$ i $C$ oraz $B$ i $D$:

$100^\circ + 80^\circ = 180^\circ, \qquad 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ.$

Warunek jest spełniony - okrąg da się opisać. Uwaga na pułapkę: $100^\circ + 70^\circ$ czy $80^\circ + 110^\circ$ to sumy kątów sąsiednich, one tu nic nie rozstrzygają.

Krok 3. Punkt b). W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, więc ma on kąty $75^\circ$, $105^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$. Suma kątów przeciwległych to

$75^\circ + 75^\circ = 150^\circ \neq 180^\circ.$

Okręgu opisać się nie da. Ogólnie: równoległobok o kątach $\alpha$ i $\alpha$ naprzeciw siebie spełnia warunek tylko dla $2\alpha = 180^\circ$, czyli gdy jest prostokątem.

Krok 4. Punkt c). Trapez równoramienny ma równe kąty przy każdej podstawie: $65^\circ$, $65^\circ$ przy dłuższej i $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$, $115^\circ$ przy krótszej (kąty przy jednym ramieniu sumują się do $180^\circ$). Kąty przeciwległe leżą przy różnych podstawach:

$65^\circ + 115^\circ = 180^\circ.$

Okrąg da się opisać - i tak jest dla każdego trapezu równoramiennego.

Krok 5. Punkt d). Trapez prostokątny $ABCD$ ma kąty proste przy $A$ i $D$ (przy ramieniu prostopadłym do podstaw), a kąt $C$ nie jest prosty, bo figura nie jest prostokątem. Wtedy

$|\angle A| + |\angle C| = 90^\circ + |\angle C| \neq 180^\circ.$

Okręgu opisać się nie da.

Odpowiedź. Okrąg można opisać na czworokątach z punktów a) i c); na równoległoboku z punktu b) i trapezie prostokątnym z punktu d) - nie.