Promień okręgu opisanego na trapezie z twierdzenia sinusów - kąt 45°

Krok 1. Wysokość i rzut ramienia. Wysokość opuszczona z $D$ tworzy z ramieniem trójkąt prostokątny równoramienny (kąt $45^\circ$), więc wysokość i rzut ramienia na podstawę są równe:

$h = 3\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3.$

Krok 2. Krótsza podstawa. Z obu stron odcinamy po $3$:

$|CD| = 10 - 2 \cdot 3 = 4.$

Krok 3. Przekątna $BD$. Rzut punktu $D$ na $AB$ leży $3$ od $A$, czyli $10 - 3 = 7$ od $B$:

$|BD| = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}.$

Krok 4. Promień z twierdzenia sinusów. Okrąg opisany na trapezie przechodzi przez $A$, $B$ i $D$, więc jest okręgiem opisanym na trójkącie $ABD$. W tym trójkącie bok $BD$ leży naprzeciw kąta $45^\circ$:

$2R = \frac{|BD|}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{58}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{58}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{29}, \qquad R = \sqrt{29}.$

Krok 5. Sprawdzenie innym sposobem. Środek leży na osi symetrii; niech $y$ to jego (skierowana) odległość od $AB$. Z równości $|OB| = |OC|$: $5^2 + y^2 = 2^2 + (3 - y)^2$, skąd $6y = -12$, $y = -2$. Wtedy $R = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$. Ujemne $y$ znaczy, że środek leży pod dłuższą podstawą, poza trapezem - dlatego kąt $ADB$ jest rozwarty.

Odpowiedź. $|CD| = 4$, przekątna ma długość $\sqrt{58}$, a promień okręgu opisanego $R = \sqrt{29}$.