Czworokąt wpisany w okrąg - kąty z zależności i kąt środkowy BOD

Krok 1. Własność czworokąta wpisanego. Kąty przeciwległe sumują się do $180^\circ$: $|\angle A| + |\angle C| = 180^\circ$ i $|\angle B| + |\angle D| = 180^\circ$.

Krok 2. Kąty $A$ i $C$. Oznaczmy $|\angle C| = \gamma$, wtedy $|\angle A| = \gamma + 30^\circ$:

$(\gamma + 30^\circ) + \gamma = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad 2\gamma = 150^\circ \quad\Longrightarrow\quad \gamma = 75^\circ.$

Zatem $|\angle C| = 75^\circ$, $|\angle A| = 105^\circ$.

Krok 3. Kąty $B$ i $D$. Oznaczmy $|\angle D| = \delta$, wtedy $|\angle B| = 2\delta$:

$2\delta + \delta = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad \delta = 60^\circ.$

Zatem $|\angle D| = 60^\circ$, $|\angle B| = 120^\circ$. Sprawdzenie: $105^\circ + 120^\circ + 75^\circ + 60^\circ = 360^\circ$.

Krok 4. Kąt środkowy (punkt b). Kąt wpisany $BCD$ ma miarę $75^\circ$ i jest oparty na łuku $BAD$ (tym, na którym nie leży $C$). Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy:

$|\angle BOD| = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ.$

Pułapka: kąt $BAD$ ($105^\circ$) jest oparty na drugim łuku $BCD$. Kąt środkowy oparty na tamtym łuku ma $210^\circ$ - razem oba kąty środkowe dają pełny kąt $360^\circ$.

Odpowiedź. a) $|\angle A| = 105^\circ$, $|\angle B| = 120^\circ$, $|\angle C| = 75^\circ$, $|\angle D| = 60^\circ$. b) $|\angle BOD| = 150^\circ$.