Deltoid wpisany w okrąg - boki 5 i 12, promień okręgu i druga przekątna

Krok 1. Kąty $B$ i $D$ są równe. Trójkąty $ABC$ i $ADC$ są przystające (cecha bbb: $|AB| = |AD|$, $|CB| = |CD|$, wspólny bok $AC$), więc $|\angle ABC| = |\angle ADC|$.

Krok 2. Kąty $B$ i $D$ są proste (punkt a). Deltoid jest wpisany w okrąg, więc jego kąty przeciwległe $B$ i $D$ sumują się do $180^\circ$. Są równe, zatem każdy ma $90^\circ$. $\blacksquare$

Krok 3. Promień. Kąt wpisany $ABC$ jest prosty, więc cięciwa $AC$ jest średnicą okręgu. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABC$:

$|AC| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13, \qquad R = \frac{13}{2} = 6{,}5.$

Krok 4. Przekątna $BD$. Przekątne deltoidu są prostopadłe, a $AC$ dzieli $BD$ na połowy. Połowa $BD$ to wysokość trójkąta prostokątnego $ABC$ opuszczona na przeciwprostokątną. Liczymy ją z pola tego trójkąta na dwa sposoby:

$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{60}{13}, \qquad |BD| = 2h = \frac{120}{13}.$

Krok 5. Pole deltoidu z przekątnych:

$P = \frac{|AC| \cdot |BD|}{2} = \frac{13 \cdot \frac{120}{13}}{2} = 60.$

Sprawdzenie: deltoid to dwa przystające trójkąty prostokątne $ABC$ i $ADC$, każdy o polu $\frac{5 \cdot 12}{2} = 30$.

Odpowiedź. a) Kąty $B$ i $D$ są równe i sumują się do $180^\circ$, więc są proste. b) $R = 6{,}5$, $|BD| = \frac{120}{13} \approx 9{,}23$, pole deltoidu wynosi $60$.