Środek okręgu opisanego na trapezie leży na podstawie - trapez o podstawach 10 i 6

Krok 1. Kandydat na środek. Środek okręgu opisanego leży na osi symetrii trapezu. Sprawdzimy, czy jest nim środek $O$ podstawy $AB$ - wtedy $|OA| = |OB| = 5$ i trzeba tylko pokazać, że także $|OC| = |OD| = 5$.

Krok 2. Odległość $|OC|$. Rzut punktu $C$ na $AB$ leży w odległości $\frac{6}{2} = 3$ od $O$ (oś symetrii dzieli $CD$ na połowy), a wysokość ma $4$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$|OC| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.$

Z symetrii także $|OD| = 5$. Punkt $O$ jest więc jednakowo oddalony od wszystkich czterech wierzchołków - to środek okręgu opisanego i leży on na podstawie $AB$. $\blacksquare$

Krok 3. Promień. $R = |OA| = \frac{10}{2} = 5$.

Krok 4. Kąt $ADB$. Podstawa $AB$ przechodzi przez środek okręgu, więc jest jego średnicą. Kąt wpisany $ADB$ jest oparty na średnicy, zatem $|\angle ADB| = 90^\circ$.

Sprawdzenie rachunkiem: $|AD|^2 = 2^2 + 4^2 = 20$, $|BD|^2 = 8^2 + 4^2 = 80$ i $|AD|^2 + |BD|^2 = 100 = |AB|^2$ - z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa kąt przy $D$ jest prosty.

Ogólnie środek leży na dłuższej podstawie dokładnie wtedy, gdy $h^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$; tu $16 = 25 - 9$.

Odpowiedź. Środek okręgu opisanego to środek podstawy $AB$, promień wynosi $R = 5$, a $|\angle ADB| = 90^\circ$.