Granica 2n − √(n² + 1) - różnica z pierwiastkiem

Krok 1. Symbol nieoznaczony. Obie części dążą do $+\infty$ - mamy $\infty - \infty$.

Krok 2. Wyłączamy $n$ przed nawias. Dla $n > 0$ jest $\sqrt{n^2 + 1} = n\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}$, więc

$2n - \sqrt{n^2 + 1} = n \left( 2 - \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} \right)$

Krok 3. Granica nawiasu. $\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} \to 1$, więc nawias dąży do $2 - 1 = 1 > 0$. Iloczyn $n \to +\infty$ i ciągu o granicy $1$ dąży do $+\infty$.

Odpowiedź. $\lim_{n \to \infty} \left( 2n - \sqrt{n^2 + 1} \right) = +\infty$.

Porównaj z $\sqrt{n^2 + 4n} - n$: tam po wyłączeniu $n$ nawias dąży do $1 - 1 = 0$ i dostajemy znów symbol nieoznaczony $\infty \cdot 0$ - wtedy pomaga dopiero wyrażenie sprzężone, a granica jest liczbą ($2$). Wszystko zależy od tego, czy współczynniki przy $n$ się znoszą.