Granica 3ⁿ − 4ⁿ - różnica potęg

Krok 1. Symbol nieoznaczony. $3^n \to +\infty$ i $4^n \to +\infty$ (podstawy większe od $1$), więc mamy $\infty - \infty$.

Krok 2. Wyłączamy potęgę o największej podstawie:

$3^n - 4^n = 4^n \left( \left(\frac{3}{4}\right)^n - 1 \right)$

Krok 3. $\left(\frac{3}{4}\right)^n \to 0$, bo $\left|\frac{3}{4}\right| < 1$, więc nawias dąży do $-1$. Natomiast $4^n \to +\infty$. Iloczyn ciągu dążącego do $+\infty$ i ciągu o granicy ujemnej dąży do $-\infty$.

Odpowiedź. $\lim_{n \to \infty} (3^n - 4^n) = -\infty$.

Pierwsze wyrazy: $a_1 = -1$, $a_2 = -7$, $a_3 = -37$ - wyrazy szybko spadają. Wygrywa potęga o większej podstawie.