Od którego wyrazu ciąg aₙ = n² − 20 przekracza 1000?

Krok 1. Nierówność z części a).

$n^2 - 20 > 1000 \iff n^2 > 1020$

Ponieważ $n > 0$, nierówność oznacza $n > \sqrt{1020} \approx 31{,}94$.

Krok 2. Najmniejsze $n$ naturalne. To $n = 32$. Sprawdzenie: $a_{32} = 1024 - 20 = 1004 > 1000$, a $a_{31} = 961 - 20 = 941 < 1000$.

Krok 3. Część b). Dla dowolnego $M > 0$:

$n^2 - 20 > M \iff n > \sqrt{M + 20}$

Wszystkie wyrazy o numerach większych od $\sqrt{M + 20}$ są większe od $M$, a wyrazów o mniejszych numerach jest tylko skończenie wiele.

Odpowiedź. a) $n = 32$. b) Dla każdego $M$ warunek zachodzi od wyrazu o numerze większym niż $\sqrt{M + 20}$, więc z definicji $\lim_{n \to \infty} (n^2 - 20) = +\infty$.