Granica (2n³ − 1)/(1 − n²) - granica minus nieskończoność

Krok 1. Dzielimy przez $n^2$ - najwyższą potęgę w mianowniku:

$\frac{2n^3 - 1}{1 - n^2} = \frac{2n - \frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2} - 1}$

Krok 2. Granice licznika i mianownika. Licznik dąży do $+\infty$, a mianownik do $0 - 1 = -1$.

Krok 3. Ciąg dążący do $+\infty$ podzielony przez ciąg o granicy ujemnej dąży do $-\infty$.

Odpowiedź. $\lim_{n \to \infty} \dfrac{2n^3 - 1}{1 - n^2} = -\infty$.

Kontrola znaku: współczynniki przy najwyższych potęgach to $2$ i $-1$, iloraz $-2 < 0$. Dla $n = 10$ mamy $\frac{1999}{-99} \approx -20{,}2$ - wyrazy są ujemne i coraz większe co do wartości bezwzględnej.