Parametr m: kiedy granica ((m − 2)n³ + n)/(n² + 1) to +∞, −∞, a kiedy liczba?

Krok 1. Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$:

$a_n = \frac{(m - 2)n + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n^2}}$

Mianownik dąży do $1$, więc o wyniku decyduje licznik, a w nim współczynnik $m - 2$.

Krok 2. Przypadek $m - 2 \neq 0$. Licznik zachowuje się jak $(m - 2)n$:

• dla $m > 2$ współczynnik jest dodatni i $a_n \to +\infty$;
• dla $m < 2$ współczynnik jest ujemny i $a_n \to -\infty$.

Krok 3. Przypadek $m = 2$. Składnik z $n^3$ znika i zostaje

$a_n = \frac{n}{n^2 + 1} = \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n^2}} \longrightarrow 0$

Odpowiedź. Dla $m > 2$ granica wynosi $+\infty$, dla $m < 2$ wynosi $-\infty$, a dla $m = 2$ ciąg jest zbieżny do $0$.

Pułapka: przy $m = 2$ licznik nie jest już stopnia trzeciego. Przy parametrze stojącym przy najwyższej potędze zawsze sprawdzamy osobno przypadek, w którym ten współczynnik jest zerem.