Granica (n² + 3n)/(n + 1) - licznik wyższego stopnia

Krok 1. Porównujemy stopnie. Licznik jest stopnia $2$, mianownik stopnia $1$ - spodziewamy się granicy niewłaściwej.

Krok 2. Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę z mianownika, czyli $n$:

$\frac{n^2 + 3n}{n + 1} = \frac{n + 3}{1 + \frac{1}{n}}$

Krok 3. Licznik $n + 3 \to +\infty$, mianownik $1 + \frac{1}{n} \to 1 > 0$. Iloraz ciągu dążącego do $+\infty$ przez ciąg o dodatniej granicy dąży do $+\infty$.

Odpowiedź. $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2 + 3n}{n + 1} = +\infty$.

Znak wyniku wynika ze znaku ilorazu współczynników przy najwyższych potęgach: $\frac{1}{1} > 0$.