Lotto 6 z 49 - prawdopodobieństwo trafienia dokładnie trzech liczb (trójki)

Krok 1. Przestrzeń. Wynikiem losowania jest sześcioelementowy podzbiór zbioru $\{1, \ldots, 49\}$:

$|\Omega| = \binom{49}{6} = 13\,983\,816.$

Krok 2. Podział liczb. Z punktu widzenia gracza $49$ liczb dzieli się na dwie grupy: $6$ liczb skreślonych na kuponie i $43$ nieskreślone.

Krok 3. Zdarzenia sprzyjające. Niech $A$ - „dokładnie trzy trafienia”. Wśród wylosowanych $6$ liczb muszą być dokładnie $3$ skreślone i $3$ nieskreślone:

$|A| = \binom{6}{3} \cdot \binom{43}{3} = 20 \cdot \frac{43 \cdot 42 \cdot 41}{6} = 20 \cdot 12\,341 = 246\,820.$

Krok 4. Prawdopodobieństwo.

$P(A) = \frac{246\,820}{13\,983\,816} = \frac{8815}{499\,422} \approx 0{,}0177.$

Wynik skracamy przez $28$ ($246\,820 = 28 \cdot 8815$, $13\,983\,816 = 28 \cdot 499\,422$). Trójka padnie średnio mniej więcej raz na $57$ zakładów.

Uwaga o pułapce. Wynik $\tfrac{\binom{6}{3}}{\binom{49}{6}}$ pomija wybór trzech nietrafionych liczb, a liczba $\binom{6}{3}\binom{46}{3}$ dopuszczałaby więcej niż trzy trafienia - pozostałe liczby trzeba brać tylko spośród $43$ nieskreślonych.

Odpowiedź. $P(A) = \dfrac{8815}{499\,422} \approx 0{,}0177$, czyli około $1{,}8\%$.