Wysokość trójkąta ze współrzędnych - odległość wierzchołka od prostej

Krok 1. Wysokość jako odległość. Wysokość z wierzchołka $C$ to odległość punktu $C$ od prostej $AB$. Potrzebujemy więc równania prostej $AB$ w postaci ogólnej.

Krok 2. Prosta $AB$. $\overrightarrow{AB} = [4, 3]$, więc wektor normalny to $[3, -4]$ i prosta ma postać $3x - 4y + C_0 = 0$. Punkt $A$: $-3 + 4 + C_0 = 0$, czyli $C_0 = -1$:

$AB\colon\ 3x - 4y - 1 = 0.$

Kontrola punktem $B$: $9 - 8 - 1 = 0$.

Krok 3. Odległość $C = (1, 5)$ od prostej $AB$.

$h = \frac{|3 \cdot 1 - 4 \cdot 5 - 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-18|}{5} = \frac{18}{5} = 3{,}6.$

Krok 4. Pole. $|AB| = \sqrt{16 + 9} = 5$, zatem

$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3{,}6 = 9.$

Kontrola wzorem na pole. $\frac{1}{2}\left|4 \cdot 6 - 2 \cdot 3\right| = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$.

Odpowiedź. Wysokość z wierzchołka $C$ ma długość $3{,}6$, a pole trójkąta wynosi $9$.