Czwarty wierzchołek równoległoboku w układzie współrzędnych

Krok 1. Własność równoległoboku. Przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie, który jest środkiem każdej z nich. Środek przekątnej $AC$ jest więc zarazem środkiem przekątnej $BD$.

Krok 2. Środek przekątnej $AC$.

$M = \left(\frac{-3 + 5}{2}, \frac{-1 + 4}{2}\right) = \left(1, \frac{3}{2}\right).$

Krok 3. Punkt $D$ z warunku, że $M$ jest środkiem $BD$. Niech $D = (x, y)$:

$\frac{3 + x}{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = -1, \qquad \frac{0 + y}{2} = \frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad y = 3.$

Krok 4. Kontrola wektorami. W równoległoboku $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$: $\overrightarrow{AB} = [6, 1]$ oraz $\overrightarrow{DC} = [5 - (-1), 4 - 3] = [6, 1]$ - zgadza się. W skrócie: $D = A + C - B$.

Uwaga o kolejności. Słowa „kolejnymi wierzchołkami” są ważne. Bez nich punkty $A$, $B$, $C$ mogłyby być wierzchołkami trzech różnych równoległoboków (czwarty wierzchołek mógłby wyjść $A + B - C$ albo $B + C - A$).

Odpowiedź. $D = (-1, 3)$.