Jaki to czworokąt? Kwadrat w układzie współrzędnych

Krok 1. Wektory boków.

$\overrightarrow{AB} = [4, -2], \quad \overrightarrow{BC} = [2, 4], \quad \overrightarrow{CD} = [-4, 2], \quad \overrightarrow{DA} = [-2, -4].$

Krok 2. Równoległobok. $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}$ oraz $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{BC}$, więc przeciwległe boki są równoległe i równe - $ABCD$ jest równoległobokiem.

Krok 3. Równe boki sąsiednie. $|AB| = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$ oraz $|BC| = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ - równoległobok o równych bokach sąsiednich to romb.

Krok 4. Kąt prosty. Iloczyn skalarny wektorów $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BC}$:

$4 \cdot 2 + (-2) \cdot 4 = 0,$

więc boki $AB$ i $BC$ są prostopadłe. Romb z kątem prostym to kwadrat.

Krok 5. Pole. $P = |AB|^2 = 20$. Kontrola przekątnymi: $|AC| = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$, $|BD| = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$, a $P = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{40} \cdot \sqrt{40} = 20$.

Odpowiedź. $ABCD$ jest kwadratem o boku $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ i polu $20$.