Okrąg opisany na trójkącie - środek z przecięcia symetralnych

Krok 1. Pomysł. Środek okręgu opisanego jest jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków, więc leży na symetralnej każdego boku. Wystarczą dwie symetralne.

Krok 2. Symetralna boku $AB$. Środek $AB$: $(3, -1)$. $\overrightarrow{AB} = [8, 4]$, po skróceniu $[2, 1]$ - to wektor normalny symetralnej: $2x + y + C = 0$, a z punktu $(3, -1)$: $C = -5$.

$2x + y - 5 = 0.$

Krok 3. Symetralna boku $BC$. Środek $BC$: $(6, 3)$. $\overrightarrow{BC} = [-2, 4]$, po skróceniu $[1, -2]$: $x - 2y + C = 0$, a z punktu $(6, 3)$: $C = 0$.

$x - 2y = 0.$

Krok 4. Punkt przecięcia symetralnych. Z drugiego równania $x = 2y$, więc $4y + y - 5 = 0$, $y = 1$, $x = 2$. Środek okręgu: $O = (2, 1)$.

Krok 5. Promień i kontrola. $r^2 = |OA|^2 = 3^2 + 4^2 = 25$. Dla pozostałych wierzchołków: $|OB|^2 = 5^2 + 0^2 = 25$ i $|OC|^2 = 3^2 + 4^2 = 25$ - wszystkie trzy leżą na okręgu.

Odpowiedź. $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$.