Równanie symetralnej odcinka w układzie współrzędnych

Krok 1. Co to jest symetralna. Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek. Każdy jej punkt jest jednakowo oddalony od $A$ i od $B$.

Krok 2. Środek odcinka.

$M = \left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}\right) = (1, 1).$

Krok 3. Prosta prostopadła do $AB$. $\overrightarrow{AB} = [6, -4]$ jest wektorem normalnym symetralnej, więc ma ona postać $6x - 4y + C = 0$, a po skróceniu przez $2$: $3x - 2y + C = 0$. Punkt $M$: $3 - 2 + C = 0$, czyli $C = -1$.

$3x - 2y - 1 = 0, \qquad \text{czyli} \qquad y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}.$

Krok 4. Kontrola drugim sposobem. Punkt $(x, y)$ leży na symetralnej, gdy $|PA|^2 = |PB|^2$:

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 4)^2 + (y + 1)^2.$

Po rozwinięciu wyrazy kwadratowe się redukują: $4x - 6y + 13 = -8x + 2y + 17$, czyli $12x - 8y - 4 = 0$ - po podzieleniu przez $4$ to samo równanie.

Odpowiedź. $3x - 2y - 1 = 0$ (postać kierunkowa: $y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$).