Dzielenie wyrażeń wymiernych: (x² + 5x)/(x − 2) : (x² − 25)/(x² − 4) - cztery wykluczone liczby

Krok 1. Rozkład na czynniki.

$x^2 + 5x = x(x + 5), \qquad x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5), \qquad x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).$

Krok 2. Dziedzina - trzy warunki.

• mianownik dzielnej: $x - 2 \neq 0$, czyli $x \neq 2$;
• mianownik dzielnika: $(x - 2)(x + 2) \neq 0$, czyli $x \neq 2$ i $x \neq -2$;
• licznik dzielnika: $(x - 5)(x + 5) \neq 0$, czyli $x \neq 5$ i $x \neq -5$.

Zatem $D = \mathbb{R} \setminus \{-5,\ -2,\ 2,\ 5\}$.

Uwaga: liczby $\pm 5$ wykluczamy, bo dla nich dzielnik jest równy zeru. Po odwróceniu dzielnika czynnik $(x - 5)(x + 5)$ trafi do mianownika - widać, że musi być różny od zera.

Krok 3. Zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność dzielnika.

$\frac{x(x + 5)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 5)(x + 5)}.$

Krok 4. Skracamy $(x + 5)$ i $(x - 2)$:

$\frac{x(x + 2)}{x - 5}.$

Odpowiedź. $\dfrac{x(x + 2)}{x - 5}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-5,\ -2,\ 2,\ 5\}$.