Dzielenie z różnicą sześcianów: (x³ − 1)/(x² + 2x) : (x² + x + 1)/(x³ − 4x)

Krok 1. Rozkład na czynniki.

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1), \qquad x^2 + 2x = x(x + 2), \qquad x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2).$

Pierwszy rozkład to wzór na różnicę sześcianów $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ z $a = x$, $b = 1$.

Krok 2. Dziedzina.

• mianownik dzielnej: $x(x + 2) \neq 0$, czyli $x \neq 0$ i $x \neq -2$;
• mianownik dzielnika: $x(x - 2)(x + 2) \neq 0$, czyli $x \notin \{-2,\ 0,\ 2\}$;
• licznik dzielnika: $x^2 + x + 1 \neq 0$ - ten trójmian ma $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, więc nie zeruje się nigdy i nie wyklucza żadnej liczby.

Zatem $D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0,\ 2\}$.

Uwaga: warunek z licznika dzielnika trzeba sprawdzić zawsze, nawet jeśli - jak tutaj - nic nie dokłada.

Krok 3. Mnożymy przez odwrotność dzielnika.

$\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x(x + 2)} \cdot \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x^2 + x + 1}.$

Krok 4. Skracamy $(x^2 + x + 1)$, $x$ i $(x + 2)$:

$(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2.$

Odpowiedź. $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0,\ 2\}$.