Wielomian podzielony przez ułamek: (x² − 9) : (x² + 6x + 9)/(2x)

Krok 1. Dziedzina. Dzielna jest wielomianem, więc sama niczego nie wyklucza. Warunki daje dzielnik $\frac{x^2 + 6x + 9}{2x}$:

• jego mianownik: $2x \neq 0$, czyli $x \neq 0$;
• jego licznik: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \neq 0$, czyli $x \neq -3$.

Zatem $D = \mathbb{R} \setminus \{-3,\ 0\}$.

Uwaga: po odwróceniu dzielnika $2x$ trafi do licznika i wynik będzie miał sens także dla $x = 0$. Mimo to $0$ nie należy do dziedziny - w wyrażeniu wyjściowym dla $x = 0$ dzielnik nie istnieje.

Krok 2. Mnożymy przez odwrotność dzielnika. Wielomian zapisujemy jako ułamek o mianowniku $1$:

$\frac{x^2 - 9}{1} \cdot \frac{2x}{x^2 + 6x + 9} = \frac{(x - 3)(x + 3) \cdot 2x}{(x + 3)^2}.$

Krok 3. Skracamy jeden czynnik $(x + 3)$:

$\frac{2x(x - 3)}{x + 3}.$

Odpowiedź. $\dfrac{2x(x - 3)}{x + 3}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3,\ 0\}$.