Iloczyn równy 1: (2x² − x − 1)/(x² − 4x + 3) · (x² − 9)/(2x² + 7x + 3)

Krok 1. Rozkład trójmianów.

• $2x^2 - x - 1$: $\Delta = 1 + 8 = 9$, pierwiastki $x = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$ i $x = \frac{1 + 3}{4} = 1$, więc $2x^2 - x - 1 = 2\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 1) = (2x + 1)(x - 1)$.
• $x^2 - 4x + 3$: $\Delta = 16 - 12 = 4$, pierwiastki $1$ i $3$, więc $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.
• $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
• $2x^2 + 7x + 3$: $\Delta = 49 - 24 = 25$, pierwiastki $x = \frac{-7 - 5}{4} = -3$ i $x = \frac{-7 + 5}{4} = -\frac{1}{2}$, więc $2x^2 + 7x + 3 = (x + 3)(2x + 1)$.

Krok 2. Dziedzina. Mianowniki $(x - 1)(x - 3)$ i $(x + 3)(2x + 1)$ muszą być różne od zera:

$D = \mathbb{R} \setminus \left\{-3,\ -\tfrac{1}{2},\ 1,\ 3\right\}.$

Krok 3. Skracamy.

$\frac{(2x + 1)(x - 1)}{(x - 1)(x - 3)} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)(2x + 1)} = 1.$

Każdy z czterech czynników występuje raz w liczniku i raz w mianowniku.

Uwaga: przy rozkładzie trójmianu o współczynniku $a = 2$ nie zapominaj o tej dwójce - wchodzi do czynnika $(2x + 1)$. Zapis $(x + \frac{1}{2})(x - 1)$ bez $2$ jest błędny.

Odpowiedź. Wyrażenie jest równe $1$ dla każdego $x \in \mathbb{R} \setminus \left\{-3,\ -\frac{1}{2},\ 1,\ 3\right\}$.