Dzielenie i mnożenie od lewej do prawej: (x² − 4)/(x² + 3x) : (x − 2)/(x² − 9) · x²/(x² + 4x + 4)

Krok 1. Rozkład na czynniki.

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2), \quad x^2 + 3x = x(x + 3), \quad x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3), \quad x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2.$

Krok 2. Dziedzina. Wszystkie mianowniki oraz licznik dzielnika muszą być różne od zera:

• $x(x + 3) \neq 0$: $x \neq 0$, $x \neq -3$;
• $(x - 3)(x + 3) \neq 0$: $x \neq \pm 3$;
• licznik dzielnika $x - 2 \neq 0$: $x \neq 2$;
• $(x + 2)^2 \neq 0$: $x \neq -2$.

Zatem $D = \mathbb{R} \setminus \{-3,\ -2,\ 0,\ 2,\ 3\}$.

Krok 3. Kolejność działań. Dzielenie i mnożenie mają ten sam priorytet, więc wykonujemy je od lewej do prawej. Najprościej zamienić dzielenie na mnożenie przez odwrotność - wtedy zostaje sam iloczyn:

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x + 3)} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 2} \cdot \frac{x^2}{(x + 2)^2}.$

Krok 4. Skracamy $(x - 2)$, $(x + 3)$, jeden czynnik $(x + 2)$ i jeden czynnik $x$:

$\frac{(x + 2)(x - 3)}{x} \cdot \frac{x^2}{(x + 2)^2} = \frac{x(x - 3)}{x + 2}.$

Krok 5. Wartość dla $x = 4$. Liczba $4$ należy do dziedziny:

$\frac{4 \cdot (4 - 3)}{4 + 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$

Uwaga: częsty błąd to wykonanie najpierw mnożenia po prawej, czyli obliczenie $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 3x} : \left(\frac{x - 2}{x^2 - 9} \cdot \frac{x^2}{x^2 + 4x + 4}\right)$. Wychodzi wtedy $\frac{(x + 2)^3(x - 3)}{x^3}$, a dla $x = 4$ liczba $\frac{27}{8}$ zamiast $\frac{2}{3}$.

Odpowiedź. $\dfrac{x(x - 3)}{x + 2}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3,\ -2,\ 0,\ 2,\ 3\}$; dla $x = 4$ wartość wynosi $\dfrac{2}{3}$.