Zastosowanie: podział trójkątnej działki

Krok 1. Rozpoznajemy konfigurację. Punkt $A$ jest wierzchołkiem kąta, a jego ramionami są boki $AB$ i $AC$. Prosta $DE$ jest równoległa do $BC$, więc mamy dwie proste równoległe ($DE$ i $BC$) przecinające ramiona kąta o wierzchołku $A$ - to wprost sytuacja z twierdzenia Talesa.

Krok 2. Wybieramy postać proporcji. Znamy $|AD|$ oraz całe boki $|AB|$ i $|AC|$, więc najwygodniejsza jest postać z odcinkami mierzonymi od wierzchołka:

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}.$

Krok 3. Podstawiamy dane.

$\frac{16}{40} = \frac{AE}{30}.$

Krok 4. Skracamy i rozwiązujemy.

$\frac{16}{40} = \frac{2}{5} \quad\Longrightarrow\quad \frac{AE}{30} = \frac{2}{5} \quad\Longrightarrow\quad AE = \frac{2}{5} \cdot 30 = 12.$

Krok 5. Obliczamy $EC$. Punkt $E$ leży na boku $AC$, więc

$EC = AC - AE = 30 - 12 = 18 \ \text{m}.$

Krok 6. Sprawdzenie. Policzmy $DB = 40 - 16 = 24$ m i sprawdźmy proporcję w wersji z odcinkami:

$\frac{AD}{DB} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{AE}{EC} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}.$

Zgadza się.

Uwaga o polach. Kuszące jest przypuszczenie, że skoro $AD$ to $\tfrac{2}{5}$ boku $AB$, to odcięta działka ma $\tfrac{2}{5}$ pola. Tak nie jest: trójkąt $ADE$ jest podobny do $ABC$ w skali $k = \tfrac{2}{5}$, a pola figur podobnych są w stosunku $k^2$, czyli

$\frac{P_{ADE}}{P_{ABC}} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}.$

Odcięta część ma więc tylko $16\%$ pola całej działki, a nie $40\%$.

Odpowiedź. $AE = 12$ m oraz $EC = 18$ m.