Równoległe po przeciwnych stronach wierzchołka

Krok 1. Rozpoznajemy konfigurację. To tak zwany układ „motylkowy”. Trójkąty $SAB$ i $SCD$ mają:

• kąty przy wierzchołku $S$ równe, bo są to kąty wierzchołkowe,
• kąty $\angle SAB$ i $\angle SCD$ równe, bo to kąty naprzemianległe przy prostych równoległych $AB$ i $CD$ przeciętych prostą $k$.

Z cechy kąt-kąt trójkąty są więc podobne - a to znaczy, że odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Dokładnie to samo daje twierdzenie Talesa w wersji dla prostych przecinających się: odcinki na ramionach są proporcjonalne także wtedy, gdy równoległe leżą po przeciwnych stronach wierzchołka.

Krok 2. Zapisujemy proporcję. Bokom $SA$ i $SC$ na prostej $k$ odpowiadają boki $SB$ i $SD$ na prostej $l$:

$\frac{SA}{SC} = \frac{SB}{SD}, \qquad \text{czyli} \qquad \frac{6}{9} = \frac{8}{x}.$

Krok 3. Rozwiązujemy.

$6x = 9 \cdot 8 = 72 \quad\Longrightarrow\quad x = 12.$

Krok 4. Sprawdzenie. Skala podobieństwa trójkąta $SCD$ względem $SAB$ wynosi $\tfrac{9}{6} = \tfrac{3}{2}$. Wtedy $SD$ powinno być $\tfrac{3}{2}$ razy większe od $SB$:

$\frac{3}{2} \cdot 8 = 12.$

Zgadza się.

Odpowiedź. $SD = 12$.