Proporcja Talesa z niewiadomą w dwóch miejscach

Szkoła średnia średnie

Punkty $A$ i $B$ leżą na jednym ramieniu kąta o wierzchołku $S$ , a punkty $C$ i $D$ - na drugim. Proste $AC$ i $BD$ są równoległe.

Wiadomo, że

$SA = x, \qquad AB = x + 3, \qquad SC = 4, \qquad CD = 6.$

Wyznacz $x$ oraz długości odcinków $SA$ i $AB$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Zapisujemy twierdzenie Talesa. Odcinki wycięte na obu ramionach kąta są proporcjonalne:

$\frac{SA}{AB} = \frac{SC}{CD} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{x}{x+3} = \frac{4}{6}.$

Krok 2. Skracamy prawą stronę. Zanim zaczniemy mnożyć na krzyż, warto uprościć ułamek - rachunek będzie krótszy:

$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \qquad \text{czyli} \qquad \frac{x}{x+3} = \frac{2}{3}.$

Krok 3. Mnożymy na krzyż. Zakładamy $x + 3 \neq 0$ , co jest oczywiste, bo długość odcinka musi być dodatnia:

$3x = 2(x+3) \quad\Longleftrightarrow\quad 3x = 2x + 6 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 6.$

Krok 4. Obliczamy odcinki.

$SA = x = 6, \qquad AB = x + 3 = 9.$

Krok 5. Sprawdzenie. Podstawiamy do wyjściowej proporcji:

$\frac{SA}{AB} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{SC}{CD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$

Stosunki są równe, a obie długości dodatnie - rozwiązanie jest poprawne.

Odpowiedź. $x = 6$ , czyli $SA = 6$ oraz $AB = 9$ .