Twierdzenie odwrotne: czy proste są równoległe?

Krok 1. Przypominamy twierdzenie odwrotne. Jeśli odcinki wyznaczone na ramionach kąta są proporcjonalne, to proste przecinające ramiona są równoległe.

Krok 2. Sprawdzamy proporcję dla danych z zadania.

$\frac{SA}{AB} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{SC}{CD} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.$

Stosunki są równe, więc proste $AC$ i $BD$ są równoległe.

Krok 3. Wariant z $CD = 10$.

$\frac{SC}{CD} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \neq \frac{2}{3}.$

Proporcja nie zachodzi, więc proste nie byłyby równoległe.

Krok 4. Warto zauważyć. Można też porównywać stosunki „od wierzchołka do całości”: $\tfrac{SA}{SB} = \tfrac{6}{15} = \tfrac{2}{5}$ oraz $\tfrac{SC}{SD} = \tfrac{8}{20} = \tfrac{2}{5}$ - wniosek ten sam.

Odpowiedź. Tak, dla danych z zadania proste są równoległe; przy $CD = 10$ nie byłyby.