Dane P(A), P(B) i P(A ∪ B) - oblicz P(A | B) i P(B | A)

Krok 1. Część wspólna ze wzoru na sumę. Z własności prawdopodobieństwa $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, więc

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}45 + 0{,}4 - 0{,}7 = 0{,}15.$

Krok 2. Warunek „zaszło B”.

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}15}{0{,}4} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}.$

Krok 3. Warunek „zaszło A”.

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0{,}15}{0{,}45} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}.$

Krok 4. Interpretacja. Wyobraźmy sobie $\Omega$ złożoną z $20$ jednakowo prawdopodobnych wyników: $A$ obejmuje $9$ z nich, $B$ - $8$, a oba zdarzenia naraz - $3$. Wtedy $P(A \mid B) = \tfrac{3}{8}$ (z ośmiu wyników $B$ trzy należą do $A$), a $P(B \mid A) = \tfrac{3}{9} = \tfrac{1}{3}$.

Pułapka. Nie wolno przyjąć $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}18$ - tak jest tylko dla zdarzeń niezależnych, a tu z danych wychodzi $0{,}15$.

Odpowiedź. $P(A \mid B) = \dfrac{3}{8}$, $P(B \mid A) = \dfrac{1}{3}$.