Dwie kule bez zwracania - druga biała, gdy pierwsza była biała

Krok 1. Co zmienia informacja o pierwszej kuli. Oznaczmy: $B_1$ - pierwsza kula biała, $B_2$ - druga kula biała. Jeśli pierwsza była biała, to w urnie zostało $8$ kul: $4$ białe i $4$ czarne. Druga kula jest losowana spośród nich, więc

$P(B_2 \mid B_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.$

Krok 2. Sprawdzenie z definicji. Wyniki to pary uporządkowane różnych kul: $|\Omega| = 9 \cdot 8 = 72$. Pierwsza biała: $|B_1| = 5 \cdot 8 = 40$. Obie białe: $|B_1 \cap B_2| = 5 \cdot 4 = 20$. Stąd

$P(B_2 \mid B_1) = \frac{|B_1 \cap B_2|}{|B_1|} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}.$

Krok 3. Obie białe - wzór na iloczyn. Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego $P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2 \mid B_1)$:

$P(B_1 \cap B_2) = \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{18}.$

Zgadza się z liczeniem wprost: $\tfrac{20}{72} = \tfrac{5}{18}$.

Pułapka. Odpowiedź $\tfrac{5}{9}$ w punkcie a) zakłada, że kula wróciła do urny. Przy losowaniu bez zwracania skład urny po pierwszym ciągnięciu jest inny.

Odpowiedź. a) $P(B_2 \mid B_1) = \dfrac{1}{2}$; b) $P(B_1 \cap B_2) = \dfrac{5}{18}$.