Dwie kostki - suma oczek 8, gdy na pierwszej wypadła liczba parzysta

Krok 1. Przestrzeń i zdarzenia. Wyniki to pary $(a, b)$, $a, b \in \{1, \ldots, 6\}$, więc $|\Omega| = 36$.

• $A$ - suma oczek równa $8$: $A = \{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\}$, $|A| = 5$,
• $B$ - w pierwszym rzucie liczba parzysta: $a \in \{2, 4, 6\}$, $b$ dowolne, $|B| = 3 \cdot 6 = 18$.

Krok 2. Część wspólna. Z par z $A$ parzystą pierwszą współrzędną mają $(2,6)$, $(4,4)$, $(6,2)$, więc $|A \cap B| = 3$.

Krok 3. Prawdopodobieństwo warunkowe.

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{|A \cap B|}{|B|} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}.$

Krok 4. Porównanie. Bez warunku $P(A) = \tfrac{5}{36} \approx 0{,}139$, a pod warunkiem $P(A \mid B) = \tfrac{6}{36} \approx 0{,}167$. Skąd różnica? Dla każdego wyniku pierwszej kostki od $2$ do $6$ jest dokładnie jeden wynik drugiej, który daje sumę $8$, a dla $a = 1$ nie ma żadnego. Warunek „pierwsza parzysta” odrzuca między innymi ten bezużyteczny wynik $a = 1$, więc szansa rośnie.

Odpowiedź. $P(A \mid B) = \dfrac{1}{6}$; bez warunku $P(A) = \dfrac{5}{36}$, czyli informacja o pierwszym rzucie zwiększa szansę.