Prawdopodobieństwo warunkowe z tabeli - uczniowie w okularach

Krok 1. Zdarzenia. $|\Omega| = 30$. Niech $O$ - wylosowana osoba nosi okulary, $D$ - wylosowana osoba jest dziewczyną. Z tabeli: $|D| = 16$, $|O| = 10$, $|O \cap D| = 6$.

Krok 2. Punkt a). Warunek „to dziewczyna” zawęża wybór do wiersza dziewcząt ($16$ osób), z których $6$ nosi okulary:

$P(O \mid D) = \frac{|O \cap D|}{|D|} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}.$

Krok 3. Punkt b). Teraz warunek „nosi okulary” zawęża wybór do kolumny okularników ($10$ osób), wśród których jest $6$ dziewcząt:

$P(D \mid O) = \frac{|O \cap D|}{|O|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.$

Krok 4. Dlaczego wyniki są różne. Licznik jest ten sam ($6$ dziewcząt w okularach), ale mianownik to liczba osób spełniających warunek: raz $16$ dziewcząt, raz $10$ okularników. $P(O \mid D)$ i $P(D \mid O)$ to zupełnie inne pytania.

Pułapka. Wynik $\tfrac{6}{30} = \tfrac{1}{5}$ to $P(O \cap D)$ - szansa, że wylosujemy dziewczynę w okularach, gdy nic nie wiemy. Przy warunku dzielimy przez liczebność wiersza albo kolumny, nie przez $30$.

Odpowiedź. a) $P(O \mid D) = \dfrac{3}{8}$; b) $P(D \mid O) = \dfrac{3}{5}$.