Dwie kostki - co najmniej jedna szóstka, jaka szansa na sumę co najmniej 10?

Krok 1. Przestrzeń. Wyniki to pary $(a, b)$ - kostki traktujemy jako rozróżnialne (np. czerwona i niebieska), wtedy wszystkie $36$ par są jednakowo prawdopodobne. $|\Omega| = 36$.

Krok 2. Zdarzenie-warunek. $B$ - wypadła co najmniej jedna szóstka. Najprościej przez dopełnienie: bez żadnej szóstki jest $5 \cdot 5 = 25$ par, więc

$|B| = 36 - 25 = 11.$

Te pary to $(6,1), \ldots, (6,6)$ oraz $(1,6), \ldots, (5,6)$.

Krok 3. Część wspólna. $A$ - suma oczek co najmniej $10$. Wśród par z $B$ sumę $\ge 10$ dają: $(6,4)$, $(4,6)$, $(6,5)$, $(5,6)$, $(6,6)$. Zatem $|A \cap B| = 5$.

Krok 4. Prawdopodobieństwo warunkowe.

$P(A \mid B) = \frac{|A \cap B|}{|B|} = \frac{5}{11}.$

Dla porównania bez warunku: sumę co najmniej $10$ daje $6$ par z $36$, czyli $P(A) = \tfrac{1}{6}$.

Pułapka. Liczenie $|B| = 12$ („szóstka na pierwszej albo na drugiej, po $6$ par”) liczy parę $(6,6)$ dwa razy. Poprawnie: $6 + 6 - 1 = 11$.

Odpowiedź. $P(A \mid B) = \dfrac{5}{11}$.