Rzut kostką - wypadła liczba parzysta, jakie prawdopodobieństwo, że większa od 3?

Krok 1. Nazywamy zdarzenia. $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $|\Omega| = 6$.

• $A$ - wypadło więcej niż $3$ oczka: $A = \{4, 5, 6\}$,
• $B$ - wypadła liczba parzysta (to wiemy): $B = \{2, 4, 6\}$.

Szukamy $P(A \mid B)$ - prawdopodobieństwa zdarzenia $A$ pod warunkiem, że zaszło $B$.

Krok 2. Część wspólna. $A \cap B = \{4, 6\}$, więc

$P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \qquad P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$

Krok 3. Definicja prawdopodobieństwa warunkowego.

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}.$

Krok 4. Sprawdzenie przez zawężenie Ω. Skoro wiemy, że wypadła liczba parzysta, możliwe są już tylko wyniki $2, 4, 6$ - i wszystkie trzy nadal są jednakowo prawdopodobne. Spośród nich więcej niż $3$ oczka dają $4$ i $6$:

$P(A \mid B) = \frac{|A \cap B|}{|B|} = \frac{2}{3}.$

Bez dodatkowej informacji byłoby $P(A) = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$. Wiadomość „wypadło parzyście” zwiększyła szansę, bo odrzuciła wyniki $1$ i $3$, które nie sprzyjały $A$.

Odpowiedź. $P(A \mid B) = \dfrac{2}{3}$.