Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu - uczniowie dojeżdżający autobusem

Krok 1. Przekład procentów na prawdopodobieństwa. Niech $A$ - uczeń dojeżdża autobusem, $S$ - uczeń się spóźnia. Dane:

$P(A) = 0{,}4, \qquad P(S \mid A) = 0{,}25, \qquad P(S) = 0{,}16.$

Uwaga: „$25\%$ spośród dojeżdżających” to prawdopodobieństwo warunkowe $P(S \mid A)$, a nie $P(S \cap A)$.

Krok 2. Punkt a) - wzór na iloczyn. Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego $P(A \cap S) = P(A) \cdot P(S \mid A)$:

$P(A \cap S) = 0{,}4 \cdot 0{,}25 = 0{,}1.$

Krok 3. Punkt b) - odwracamy warunek.

$P(A \mid S) = \frac{P(A \cap S)}{P(S)} = \frac{0{,}1}{0{,}16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}.$

Krok 4. Sprawdzenie na liczbach. W szkole liczącej $100$ uczniów: $40$ dojeżdża, z nich $10$ się spóźnia; spóźnia się razem $16$ osób. Wśród tych $16$ dojeżdżających jest $10$, czyli $\tfrac{10}{16} = \tfrac{5}{8}$.

Odpowiedź. a) $P(A \cap S) = 0{,}1$; b) $P(A \mid S) = \dfrac{5}{8} = 62{,}5\%$.