Granica ciągu (n² − 3n)/(3n² + 2n − 1)

Krok 1. Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$:

$\frac{n^2 - 3n}{3n^2 + 2n - 1} = \frac{1 - \frac{3}{n}}{3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}}$

Krok 2. Granice składników. $\frac{3}{n}$, $\frac{2}{n}$ i $\frac{1}{n^2}$ dążą do zera.

Krok 3.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{3}{n}}{3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} = \frac{1 - 0}{3 + 0 - 0} = \frac{1}{3}$

Odpowiedź. Granica wynosi $\dfrac{1}{3}$.

Dla kontroli: $a_{1000} = \frac{997\,000}{3\,001\,999} \approx 0{,}3321$ - wyrazy rzeczywiście zbliżają się do $0{,}333\ldots$